Κατόπιν, συμπλήρωσε για λίγο τις σπουδές του στο Ωδείο του Παρισιού. ΄Αρχισε επίσης να σπουδάζει οδοντιατρική, την οποία εγκατέλειψε για χάρη της μουσικής.
Εργάστηκε ως βιολιστής στα χοροδιδασκαλεία της Εποχής και μετείχε στην ορχ. της «΄Οασης» του Ζαππείου Ως τραγουδοποιός, εμφανίστηκε επίσημα το 1946 (τα τραγούδια που έγραψε πριν από αυτή την ημερομηνία, δυστυχώς τα έχουν υπογράψει άλλοι...) και ήδη με τα πρώτα του «επώνυμα» τραγούδια ("`Ηρθες σαν την άνοιξη" και "Για σένα ανθίζει η γη") προκάλεσε αίσθηση.
Προηγουμένως (1938) ήταν ο διασκευαστής του «θρυλικού» δημοτικού τραγουδιού «Τσοπανάκος ήμουνα», που χρησιμοποιήθηκε ως σήμα της νεοσύστατης τότε Ελλ. Ραδιοφωνίας
Κατόπιν σχημάτισε δική του ορχήστρα από βιολιά (που κάποτε έφτασαν τα 15!) και έκτοτε έπαιζε σε κοσμικά Κέντρα (με πρώτο τα «Πεύκα», κ.λπ., αργότερα–1964–το «Πλακιώτικο Σαλόνι» ενώ στη συνέχεια «έγραψε ιστορία» στο «Μονσενιέρ»). Συνέθεσε κάθε είδους μουσική και τραγούδια, για κάθε καλλιτεχνική χρήση (για Θέατρο, Κινηματογράφο, Επιθεώρηση, Διαγωνισμούς Ελαφρού Τραγουδιού, Δισκογραφία).
Το περίφημο τραγούδι του σε στίχους Γιάννη Φερμάνογλου "Τι είν' αυτό που το λένε αγάπη" (ενταγμένο στην ταινία "Το παιδί και το Δελφίνι", 1956 –με τη Σοφία Λόρεν και τον `Αλαν Λαντ– και χρησιμοποιημένο ως «λάιτ-μοτίφ» της ταινίας από τον Ούγκο Φρεντχόφερ, ο οποίος υπέγραφε τη μουσική και παρ’ ολίγον –λόγω Μωράκη– να πάρει ΄Οσκαρ μουσικής...) έγινε παγκόσμια επιτυχία.
Συνέθεσε για πρώτη φορά κινηματογραφική μουσική το 1955, για την ταινία «Γκόλφω». Ακολούθησαν: «Ο αγαπητικός της βοσκοπούλας» (1955), «Η άγνωστος» (1956), «Η θεία από το Σικάγο» (1957), «Ο Μιμίκος και η Μαίρη» (1958), «Η κυρά μας η μαμμή» (1958), «Αστέρω» 1958, «Η μουσίτσα» (1959), «Ο Ηλίας του 16ου» (1959), «Ο Θύμιος τά ’κανε θάλασσα» (1959), «Αμαρυλλίς» (1959), «Ο θησαυρός του μακαρίτη» (1959), «Το αγοροκόριτσο» (1959), «Ψιτ...κορίτσια» (1959), «Η λίμνη των στεναγμών», «Αντίο ζωή» (1960), «Μωρό μου» (1960), «2.000 ναύτες και ένα κορίτσι» (1960), «Τα κίτρινα γάντια» (1960), «Διαβόλου κάλτσα» (1961), «Η απολύτρωσις» (1961), «Όλα και τη ζωή μου ακόμα» (1963), «Αθώα ή ένοχη» (1963), κ.λπ.
Το 1962, το τραγούδι του «Αθήνα, άνθρωποι και θεοί» τραγουδισμένο από τη Μάριον Σίβα (στίχοι Γ. Οικονομίδη) πήρε το Α΄ βραβείο στον Διαγωνισμό Τραγουδιού του Δήμου Αθηναίων (με θέμα την Αθήνα). Προηγουμένως (1960) το τραγούδι του «`Ηταν κάποιο Λούνα-παρκ» (στίχοι Ρέτης Ζαλοκώστα) είχε πάρει το Δ΄ βραβείο στο 2ο Φεστιβάλ Ελαφρού Τραγουδιού.
Το 1962 το τραγούδι του «Χαρές της ζωής» πήρε το Γ΄ βραβείο στο Φεστιβάλ Θεσ/νίκης. Το 1963, το τραγούδι του «Αγαπώ έναν τύπο», πήρε το «Βραβείο Ευρώπης» στο διεθνές Φεστιβάλ του Βενσάν, ενώ το τραγούδι του «Πού πάτε κύριε» πήρε το Δ΄ βραβείο στο Φεστιβάλ Θεσ/νίκης.
Το 1964 κέρδισε το Α΄ βραβείο τόσο στο Φεστιβάλ Πολωνίας (συμμετοχή 29 χωρών) με το τραγούδι του «Σ’ ευχαριστώ καρδιά μου που ξέρεις ν’ αγαπάς» όσο και στο 3ο Φεστιβάλ Θεσ/νίκης, με το τραγούδι του «Ποιος», ερμηνευμένο από την Κλειώ Δενάρδου και φυσικά, από τη Νάντια Κωνσταντοπούλου (τη διακεκριμένη τραγουδίστρια και τρίτη σύζυγό του, την «πρώτη διδάξασα» πολλών τραγουδιών του και ερμηνεύτρια όλων των προηγούμενων βραβευμένων συνθέσεών του).
Αλλά και στο Φεστιβάλ Θεσ/νίκης του 1968 πήρε το Β΄ βραβείο με το τραγούδι «Εκείνος» (τραγουδισμένο από την Κωνσταντοπούλου και την Κρύσταλ), κ.λπ. Με την ορχ. του (και την Κωνσταντοπούλου) περιόδευσε την πρώην Σοβιετική ΄Ενωση (όπου και έδωσαν 80 συναυλίες).
Οι τελευταίες εμφανίσεις του καλλιτεχνικού ζεύγους ήταν στο «Χίλτον» (1987) και στο «Ακροπόλ Παλάς» (1988-89, με τον Γ. Μουζάκη.
Ο γιος του Τ. Μωράκη και της Ν. Κωνσταντοπούλου Πρίαμος Μωράκης (Αθήνα 1964) εμφανίστηκε ως τραγουδοποιός με συμμετοχή στον δίσκο «΄Αμιλλα ’81» και το 1988 παρουσίασε τον δίσκο «Τώρα» (με ερμηνεύτρια και στιχουργό τη μητέρα του).
